ポケポケ初心者必見！コイントス技の確率と期待値を徹底解説

問1. ファイヤーexの「れっかのまい」でベンチの炎ポケモンにつけられるエネルギーの数の期待値は？

問2. カスミのカードでつけられる水エネルギーの数の期待値は？

問3. カスミのカードを使う場合、自身の初ターン目にラプラスが与えられるダメージの期待値を、先攻と後攻に分けて求めよ。

問4. 問3のラプラスがフリーザーexだった場合、相手のバトルポケモンに与えるダメージの期待値を、先攻と後攻に分けて求めよ。

問5. ベロリンガの「れんぞくベロベロ」で与えられるダメージの期待値は？

問6. 自分のバトル場にバチンウニ、ベンチにスリーパーが２体いる。次のターンに相手ポケモンを状態異常で行動不能にできる確率は？

問7. 問6のバチンウニがモスノウだった場合、次のターンに相手ポケモンを状態異常で行動不能にできる確率は？

コインの表が出る回数で場合分けをし、それぞれの事象が起こる確率を求めます。

[表が0回]
全て裏になるため、1通りです。
∴表が0回となる確率は (1/2)^3 × 1 = 1/8

[表が1回]
1回目, 2回目, 3回目のいずれかに表が出るため、3通りあります。
∴表が1回となる確率は (1/2)^3 × 3 = 3/8

[表が2回]
1回目, 2回目, 3回目のいずれかに裏が出るため、3通りあります。
∴表が2回となる確率は (1/2)^3 × 3 = 3/8

[表が3回]
全て表になるため、1通りである。
∴表が3回となる確率は (1/2)^3 × 1 = 1/8

以上より期待値は 0 × 1/8 + 1 × 3/8 + 2 × 3/8 + 3 × 1/8 = 12/8 = 3/2 = 1.5

答え：1.5（個）

（問1の感想）
ファイヤーexの「れっかのまい」は、コイントスを3回行い、表が出た回数だけベンチの炎ポケモンにエネルギーをつけられます。

計算の結果、平均して1.5個のエネルギーをつけられることが分かりましたね！

• 表が0回（エネルギー0個）となる確率は、1回目に裏がでる確率なので (1/2)^1
• 表が1回（エネルギー1個）となる確率は、1回目に表が出て、2回目に裏がでる確率なので (1/2)^2
• 表がn回（エネルギーn個）となる確率は、n回目まで常に表が出て、n+1回目に裏がでる確率なので (1/2)^(n+1)

従って、期待値Rは下記の式で求められます。

R = 0 × (1/2)^1 + 1 × (1/2)^2 + 2 × (1/2)^3 + 3 × (1/2)^4 + … + (n – 1) × (1/2)^n + …：①
R/2 = 　　　　　0 × (1/2)^2 + 1 × (1/2)^3 + 2 × (1/2)^4 + … + (n – 2) × (1/2)^n + …：②（①の両辺に1/2を掛けた）

①-② = R/2 = (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 + … + (1/2)^n + …：③
　　　 R/4 = 　　　　 (1/2)^3 + (1/2)^4 + (1/2)^5 + … + (1/2)^n + …：④（③の両辺に1/2を掛けた）
③-④ = R/4 = (1/2)^2 = 1/4 ⇔ R = 1

答え：1（個）

（問2の感想）
カスミのカードは、コイントスを繰り返し、裏が出るまで水エネルギーをつけ続けられます。

少し複雑な計算になりましたが、結果は1個となりました。平均して1個のエネルギーをつけられるカスミは、やはり強力なカードですね。

[先攻の場合]
先攻の場合、技に必要な水エネルギーは、カスミのカードのみでつけることになります。

ラプラスのエネルギーの個数で場合分けし、各事象が起こる確率を求めます。

• エネルギーが0個の場合（与ダメージ0）の確率 = 1/2
• エネルギーが1-3個の場合（与ダメージ20）の確率 = (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 = 1/4 + 1/8 + 1/16 = 7/16
• エネルギーが4個以上の場合（与ダメージ90）の確率 = 1 – 1/2 – 7/16 = 1/16（エネルギーが0-3個の場合の確率を1から引く）

∴先攻の場合の期待値は 0 × 1/2 + 20 × 7/16 + 90 × 1/16 = 230/16 = 115/8 = 14.375

[後攻の場合]
後攻の場合、１ターン目からエネルギーをつけることができるため、先攻の場合より水エネルギーを１つ多くつけることができます。

• エネルギーが1-3個の場合（与ダメージ20）の確率 = 1/2 + (1/2)^2 + (1/2)^3 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
• エネルギーが4個以上の場合（与ダメージ20）の確率 = 1 – 7/8 = 1/8（エネルギーが1-3個の場合の確率を1から引く）

∴後攻の場合の期待値は 20 × 7/8 + 90 × 1/8 = 230/8 = 115/4 = 28.75

答え：先攻の場合 14.375、後攻の場合 28.75（ダメージ）

（問3の感想）
ラプラスは、水エネルギーの数に応じてダメージが変化する技を持っています。

先攻と後攻で、つけられる水エネルギーの数が異なるため、ダメージの期待値も変わってきます。

カスミでつけられるエネルギーの個数の期待値が1なのに、ラプラスの先攻のダメージ期待値が20を下回るのが意外でした。おそらく、低確率を引いてエネルギーの個数がどんなに増えても、技のダメージ上限が90なので、低確率を引いた場合のダメージ期待値への寄与度が低いからだと思われます。

[先攻の場合]

• エネルギーが0-1個の場合（与ダメージ0）の確率 = 1/2 + (1/2)^2 = 1/2 + 1/4 = 3/4
• エネルギーが2個の場合（与ダメージ40）の確率 = (1/2)^3 = 1/8
• エネルギーが3個以上の場合（与ダメージ80）の確率 = 1 – 3/4 – 1/8 = 1/8（エネルギーが0-2個の場合の確率を1から引く）

∴先攻の場合の期待値は 0 × 3/4 + 40 × 1/8 + 80 × 1/8 = 120/8 = 15

[後攻の場合]

• エネルギーが1個の場合（与ダメージ0）の確率 = 1/2
• エネルギーが2個の場合（与ダメージ40）の確率 = (1/2)^2 = 1/4
• エネルギーが3個以上の場合（与ダメージ80）の確率 = 1 – 1/2 – 1/4 = 1/4（エネルギーが1-3個の場合の確率を1から引く）

∴後攻の場合の期待値は 0 × 1/2 + 40 × 1/4 + 80 × 1/4 = 120/4 = 30

答え：先攻の場合 15、後攻の場合 30（ダメージ）

（問4の感想）
フリーザーexは、水エネルギーの数に応じて使える技が異なります。先攻でも後攻でもラプラスよりフリーザーexのダメージ期待値が大きくなるのは意外でした。

ラプラスがエネルギー4個で90ダメージ、フリーザーexがエネルギー3個で80ダメージを出せるので、エネルギー3個だった場合の期待値への寄与がフリーザーexの方が大きいのが理由かもしれません。

問2と同様に、期待値は下記の式で求められます。

60 × 0 × (1/2)^1 + 60 × 1 × (1/2)^2 + 60 × 2 × (1/2)^3 + 60 × 3 × (1/2)^4 + … + 60 × (n – 1) × (1/2)^n + … = 60 × R = 60 × 1 = 60　(問2の①より）

答え：60（ダメージ）

(問5の感想）
ベロリンガの「れんぞくベロベロ」は、コイントスを繰り返し、裏が出るまでに出た表の数 × 60ダメージを与えることができます。

理論上は無限ダメージも可能ですが、期待値は60ダメージとなります。技に必要なエネルギーは3個なので、実用性はやや低いかもしれませんね。

相手ポケモンがマヒで行動不能になる場合とねむりで行動不能になる場合で場合分けします。

[マヒで行動不能になる場合]
バチンウニのでんきショックでコイン表が出る確率は1/2

[ねむりで行動不能になる場合]
バチンウニのでんきショックでコイン裏が出る確率は1/2

スリーパー2体の特性を使用してもねむりにならない確率 = コイン裏が2回でる確率 = (1/2)^2 = 1/4
∴相手ポケモンがねむりになる確率 = 1 -1/4 = 3/4

相手ポケモンがねむりで行動不能になるためにはポケモンチェックでコイン裏が出る必要がある（1/2）。

∴ねむりで行動不能になる確率 = 1/2 × 3/4 × 1/2 = 3/16

以上より、マヒかねむりのいずれかで行動不能になる確率 = 1/2 + 3/16 = 11/16 = 68.75%

答え：68.75%

（問6の感想）
バチンウニとスリーパーのコンボで、相手ポケモンを行動不能にできる確率を計算しました。

約69%と、かなり高い確率で行動不能にできることが分かります。

スリーパーの特性の成功の有無にかかわらず、モスノウのわざで相手ポケモンはねむりになります。

ポケモンチェックで相手ポケモンが起きない確率は1/2であるので、答えは1/2 = 50%

答え：50%

（問7の感想）
この問題はひっかけ問題です。モスノウのわざで確定でねむり状態になるので、スリーパーの有無は答えに影響しません。